$\frac{1}{\left|x+2\right|}>4$ অসমতাটির সমাধান সেট হবে নিচের কোনটি? (Which one of the following is a solution of the inequality ? )

পরমমান (Absolute Value) সম্বলিত অসমতা হলো এমন অসমতা যেখানে একটি সংখ্যা বা চলকের পরমমানের মান নির্ধারণ করা হয় এবং তার সাথে তুলনা করা হয়। পরমমান (| | চিহ্ন) সংখ্যা বা চলকের ধনাত্মক মান বোঝায়, যেমন \( |x| \) এর মান সবসময় ধনাত্মক হবে।

পরমমান সম্বলিত অসমতার ধরন:

1. \( |x| < a \):
   যখন \( |x| < a \) থাকে, তখন এটি বোঝায় যে \( x \) সংখ্যাটি \( -a \) এবং \( +a \) এর মধ্যে রয়েছে। অর্থাৎ:
   \[
   -a < x < a
   \]

   উদাহরণস্বরূপ, \( |x| < 3 \) বোঝায় \( -3 < x < 3 \)।

2. \( |x| > a \):
   যখন \( |x| > a \) থাকে, তখন এটি বোঝায় যে \( x \) সংখ্যাটি \( -a \) এবং \( +a \) এর বাইরে রয়েছে। অর্থাৎ:
   \[
   x < -a \quad \text{অথবা} \quad x > a
   \]

   উদাহরণস্বরূপ, \( |x| > 5 \) বোঝায় \( x < -5 \) অথবা \( x > 5 \)।

অন্য উদাহরণগুলো:

• \( |x - b| < a \): এখানে \( x - b \) এর পরমমান \( a \) এর চেয়ে ছোট, এর মানে হলো \( x \) \( b - a \) এবং \( b + a \) এর মধ্যে:
  \[
  b - a < x < b + a
  \]
• \( |x - b| > a \): এখানে \( x - b \) এর পরমমান \( a \) এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ:
  \[
  x < b - a \quad \text{অথবা} \quad x > b + a
  \]

পরমমান সম্বলিত অসমতা সমাধানের ধাপ:

1. প্রথমে পরমমানটি অপসারণ করুন এবং দুটি অসমতা রূপে লিখুন।
2. অসমতাগুলি আলাদাভাবে সমাধান করুন।
3. ফলাফলগুলো মিলিয়ে উত্তর নির্ধারণ করুন।

উদাহরণ:

যদি \( |x - 2| < 4 \) থাকে, তবে এটি দুইভাবে লেখা যায়:
\[
-4 < x - 2 < 4
\]
এখন \( x \)-এর জন্য সমাধান করে পাই:
\[
-4 + 2 < x < 4 + 2
\]
অর্থাৎ,
\[
-2 < x < 6
\]

পরমমান সম্বলিত অসমতা গণিতের বিভিন্ন সমস্যায় এবং বাস্তব জীবনের মাপজোখে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, কারণ এটি ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় মানকে বিবেচনায় নিয়ে কাজ করে।